Заменив событие на противоположное мы получили правое равенство из левого, что укзаывает на их эквивалентность.
Докажем справедливость равенств. Допустим, что равенства верны при $n$. Если равенства будут также верны при $n+1$, то, по принципу мат. индукции, наши первоначальные равенства справедливы:
Два шахматиста играют одну партию. Событие $A$ - выиграет первый игрок, $B$ - выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число $N$ при:
+ Возведении в квдрат
+ Возведении в четвертую степень
+ Умножении на произвольное целое число
даст число, оканчивающееся единицей.
а) При возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на $1, 9$, получатся числа, окончивающиеся единицей - в остальных случаях ($0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$) - единицы на конце не будет.
б) При возведении в четвертую степень чисел, оканчивающихся на $1, 3, 7, 9$, получатся числа, окончивающиеся единицей - в остальных случаях ($0, 2, 4, 5, 6, 8$) - единицы на конце не будет.
$ p = m/n = 4/10 = 2/5 = 0.4 $
в) Пусть $M$ - произвольное целое число, на которые мы будем умножать $N$. $M$, также как и $N$, может оканчиваться на 10 разныз цифр, следовательно уникальных комбинаций последних цифр $M$ и $N$ будет $n = 10 dot 10 = 100$. Комбинации, которые будут число с единицей на конце - $(1,1), (3,7), (7,3), (9,9)$.
Черный и белый короли находятся соответственно на первой и третьей горизонталях шахматной доски. На одно из незанятых полей первой или второй горизонтали наудачу ставится ферзь. Определить вероятность того, что образовавшаяся позиция матовая для черного короля, если положения королей равновозможны на любых полях указанных горизонталей.
#figure(
image("chess.png", width: 35%),
caption: [Одна из возможных позиций фигур],
)
Рассмотрим позицию черного короля `a1`. Если белый король стоит правее `c3`, то мата никогда не будет, поскольку ферзь не будет защищен королем при шахе. Если белый король будет на `a3`, то при постановке ферзя на клетки `a2, b2, c1-h1` будет мат - это 8 разных позиций. Если белый король на `b3`, то мат будет при ферзе на `a2, b2, c1-h1` - ещё 8 позиций. Если белый король на `c3`, то мат будет только при ферзе на `b2` - ещё 1 позиция. Получаем, что при постановке черного короля на `a1` вероятность мата равна $m_a = 8+8+1 = 17$.
Рассмотрим позицию черного короля `h1`. Она симметрична позиции `a1`, а значит $m_h = m_a$
Рассмотрим позицию черного короля `b1`. Если белый король стоит правее `c3`, то мата никогда не будет. Если белый король на `a3`, то ферзь на `b2, d1` даст мат - 2 позиции. Если белый король на `b3`, то ферзь на `a2, b2, c2, d1-h1` даст мат - 8 позиций. Если белый король на `c3`, то ферзь на `b2` даст мат - 1 позиция. $m_b = m_g = 2+8+1 = 11$
Рассмотрим позицию черного короля `c1`. Если белый король не стоит на `b3, c3, d3` - мата не будет. Если белый король стоит на `b3`, то ферзь на `c2, e1` даст мат - 2 позиции. Если белый король стоит на `c3`, то ферзь на `c2, a1, e1-h1` даст мат - 6 позиций. Если белый король стоит на `d3`, то ферзь на `a1, c2` даст мат - 2 позиции. $m_c = m_f = 2+6+2 = 10$
Рассмотрим позицию черного короля `d1`. Если белый король не стоит на `c3, d3, e3` - мата не будет. Если белый король стоит на `c3`, то ферзь на `d2` даст мат - 1 позиция. Если белый король стоит на `d3`, то ферзь на `d2, a1, b1, f1-h1` даст мат - 6 позиций. Если белый король стоит на `e3`, то ферзь на `d2` даст мат - 1 позиция. $m_d = m_e = 1+6+1 = 8$
Всего возможных вариантов постановки фигур $n = 8 dot 8 dot 15 = 960$. Варианты постановок, которые дают матовую позицию $m = 17+11+10+8+8+10+11+17 = 92$
Из партии деталей, среди которых $n$ доброкачественных и $m$ бракованных, для контроля наудачу взято $s$ штук. При контроле оказалось, что первые $k$ из $s$ деталей доброкачественны. Определить вероятность того, что следующая деталь будет дорброкачественной.
Рассматривать $s$ случайно взятых деталей равносильно тому же, что рассматривать детали из общей партии $n+m$. В общей куче осталось $n+m-k$ деталей, $n-k$ из которых - доброкачественны. Вычислим веротяность:
Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины:
+ Не содержит одинаковых цифр
+ Имеет две одинаковые цифры
+ Имеет три одинаковые цифры
+ Содержит две пары одинаковых цифр
+ Состоит из одинаковых цифр
Известно, что все номера четырехзначные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозможные.
а) Всего вариантов различных номеров $n = 10 dot 10 dot 10 dot 10 - 1 = 9999$ (вычитаем 1, поскольку 0000 не является номером по условию). Количество номеров без одинаковых цифр $m = 10 dot 9 dot 8 dot 7 = 5040$. Вычислим вероятность:
$ p = m/n = 5040/9999 = 560/1111 approx 0.50405 $
б) Пусть $x$ - повторяющаяся цифра, а $y$ - нет. Номера с двумя одинаковыми цифрами будут иметь 6 видов - ${x x y y, y x x y, y y x x, x y x y, y x y x, x y y x}$. $x$ может быть любой цифрой - 10 вариантов, $y$ должен отличаться от $x$ и от второго $y$ - $9 dot 8$ вариантов. Количество вариантов с двумя одинаковыми цифрами $m = 10 dot 9 dot 8 dot 6 = 4320$. Вычсилим вероятность:
$ p = m/n = 4320/9999 = 480/1111 approx 0.43204 $
в) Пусть $x$ - повторяющаяся цифра, а $y$ - нет. Номера с тремя одинаковыми цифрами будут иметь 4 вида - ${x x x y, x x y x, x y x x, y x x x}$. $x$ может быть любой цифрой - 10 вариантов, $y$ должен отличаться от $x$ - 9 вариантов. Количество вариантов с тремя одинаковыми цифрами $m = 10 dot 9 dot 4 = 360$. Вычислим вероятность:
$ p = m/n = 360/9999 = 40/1111 approx 0.036 $
г) Пусть $x$ - повторяющая цифра первой пары, а $y$ - повторяющаяся цифра второй пары. Номера с двумя парами одинаковых цифр буду 6 видов - ${x x y y, y x x y, y y x x, x y x y, y x y x, x y y x}$. $x$ может быть любой цифрой - 10 вариантов, $y$ должен отличаться от $x$ - 9 вариантов. Следует избавиться от повторов номеров при смене пар $x$ и $y$ местами (по типу 1122 и 2211), для этого мы разделим полученное количество вариантов на 2 - $m = (10 dot 9 dot 6)/2 = 270 $. Вычислим вероятность:
$ p = m/n = 270/9999 = 30/1111 approx 0.027 $
д) Номеров, состоящих из одинаковых цифр столько же, сколько и самих цифр, за исключением номера 0000, который исключен по условию - $m = 10 - 1 = 9$. Вычислим вероятность:
