erius/typst-itmo
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

Some work on lab1

Browse source
This commit is contained in:
Egor 2024-09-09 15:34:01 +03:00
parent 513acbbef3
commit ba1a333005
1 changed files with 29 additions and 12 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

41
chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ
View file

@ -20,11 +20,11 @@ $ G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t) $
- Приведите формулы для вычисления коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для каждого случая. Если значения некоторых из них очевидны, укажите это. Для первой функции (квадратная волна) и $n=0, 1, 2$ вычислите значения указанных коэффициентов вручную.
- Напишите программу, которая ывчисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.
- Напишите программу, которая вычисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.
- Постройте графики $F_N (t)$ и $G_N (t)$ для пяти различных значений $N$. Сравните их друг с другом и с графиком исходной функции $f(t)$.
- Проверьте выполнение оавенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.
- Проверьте выполнение равенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.
1. *Квадратная волна*. Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что
$ f(t) = cases(
@ -42,27 +42,44 @@ $ f(t) = cases(
Построим график данной функции:
#figure(
canvas(length: 1.5cm, {
plot.plot(size: (3, 3),
canvas(length: 1.75cm, {
plot.plot(size: (3, 2),
x-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
x-min: -3, x-max: 3,
y-min: -3, y-max: 3,
y-min: -1, y-max: 4,
x-grid: true, y-grid: true,
x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$],
{
plot.add(domain: (-3, 3), t => {
plot.add(domain: (-2.9, 2.9), t => {
let (t0, t1, t2) = (0, 1, 2)
let T = t2 - t0
let abs_rem = calc.rem(calc.abs(t), T)
if abs_rem >= t0 and abs_rem <= t1 {
if t < 0 { t = -t + 1 }
let abs_rem = calc.rem(t, t2 - t0)
if abs_rem >= t0 and abs_rem < t1 {
return 1
} else {
return 2
}
})
}, line: "hvh")
}
)
})
)
}), caption: [График квадратной волны $f(t)$]
) <sq_wave>
#pagebreak()
Период функции равен $T = t_2 - t_0 = 2$, рассмотрим функцию на промежутке $[-T/2; T/2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$:
$ a_0 &= 1/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)upright(d)t = 1/2 integral^1_(-1) f(t)upright(d)t = 1/2 (integral^0_(-1) 2 + integral^1_0 1)upright(d)t \
&= 1/2 (2t bar.v^0_(-1) + t bar.v^1_0) = 1/2 (2 + 1) = 3/2 $
$ a_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)cos(pi n t)upright(d)t \
&= (integral^0_(-1) 2cos(pi n t) + integral^(1)_0 cos(pi n t))upright(d)t \
&= (2 sin(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) + sin(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
&= -(2 sin(-pi n))/(pi n) + sin(pi n)/(pi n) = (3 sin(pi n))/(pi n) = 0 $
$ b_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)sin(pi n t)upright(d)t \
&= (integral^0_(-1) 2sin(pi n t) + integral^(1)_0 sin(pi n t))upright(d)t \
&= -(2 cos(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) - cos(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
&= (2 cos(-pi n))/(pi n) - cos(pi n)/(pi n) = cos(pi n)/(pi n) $
2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору.