From ba1a333005c1770ba13ac29d27bdf03bfcdd008f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: erius <egor_kapralov2003@mail.ru>
Date: Mon, 9 Sep 2024 15:34:01 +0300
Subject: [PATCH] Some work on lab1

---
 chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ | 41 +++++++++++++------
 1 file changed, 29 insertions(+), 12 deletions(-)

diff --git a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ
index 5a40eb8..897b952 100644
--- a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ
+++ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ
@@ -20,11 +20,11 @@ $ G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t) $
 
 - Приведите формулы для вычисления коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для каждого случая. Если значения некоторых из них очевидны, укажите это. Для первой функции (квадратная волна) и $n=0, 1, 2$ вычислите значения указанных коэффициентов вручную.
 
-- Напишите программу, которая ывчисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.
+- Напишите программу, которая вычисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.
 
 - Постройте графики $F_N (t)$ и $G_N (t)$ для пяти различных значений $N$. Сравните их друг с другом и с графиком исходной функции $f(t)$.
 
-- Проверьте выполнение оавенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.
+- Проверьте выполнение равенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.
 
 1. *Квадратная волна*. Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что
 $ f(t) = cases(
@@ -42,27 +42,44 @@ $ f(t) = cases(
 Построим график данной функции:
 
 #figure(
-    canvas(length: 1.5cm, {
-        plot.plot(size: (3, 3),
+    canvas(length: 1.75cm, {
+        plot.plot(size: (3, 2),
             x-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
             x-min: -3, x-max: 3,
-            y-min: -3, y-max: 3,
+            y-min: -1, y-max: 4,
             x-grid: true, y-grid: true,
+            x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$],
             {
-                plot.add(domain: (-3, 3), t => {
+                plot.add(domain: (-2.9, 2.9), t => {
                     let (t0, t1, t2) = (0, 1, 2)
-                    let T = t2 - t0
-                    let abs_rem = calc.rem(calc.abs(t), T)
-                    if abs_rem >= t0 and abs_rem <= t1 {
+                    if t < 0 { t = -t + 1 }
+                    let abs_rem = calc.rem(t, t2 - t0)
+                    if abs_rem >= t0 and abs_rem < t1 {
                         return 1
                     } else {
                         return 2
                     }
-                })
+                }, line: "hvh")
             }
         )
-    })
-)
+    }), caption: [График квадратной волны $f(t)$]
+) <sq_wave>
+#pagebreak()
+
+Период функции равен $T = t_2 - t_0 = 2$, рассмотрим функцию на промежутке $[-T/2; T/2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$:
+
+$ a_0 &= 1/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)upright(d)t = 1/2 integral^1_(-1) f(t)upright(d)t = 1/2 (integral^0_(-1) 2 + integral^1_0 1)upright(d)t \
+&= 1/2 (2t bar.v^0_(-1) + t bar.v^1_0) = 1/2 (2 + 1) = 3/2 $
+
+$ a_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)cos(pi n t)upright(d)t \
+&= (integral^0_(-1) 2cos(pi n t) + integral^(1)_0 cos(pi n t))upright(d)t \
+&= (2 sin(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) + sin(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
+&= -(2 sin(-pi n))/(pi n) + sin(pi n)/(pi n) = (3 sin(pi n))/(pi n) = 0 $
+
+$ b_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)sin(pi n t)upright(d)t \
+&= (integral^0_(-1) 2sin(pi n t) + integral^(1)_0 sin(pi n t))upright(d)t \
+&= -(2 cos(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) - cos(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
+&= (2 cos(-pi n))/(pi n) - cos(pi n)/(pi n) = cos(pi n)/(pi n) $
 
 2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору.