#import "../hw-template.typ"
#import hw-template: *
#import "../../../helpers.typ"
#import helpers: *

#show: doc => hw(
    num: 2,
    doc
)

#set enum(numbering: ru_alph(pattern: "а)"))

#let ol(text) = $overline(text)$

#outline()
#pagebreak()

= Задание 2.18

В зале насчитывающем $n+k$ мест, случайным образом занимают места $n$ человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные $m <= n$ мест.

Число возможных способов рассадки $n$ человек на $n+k$ мест равняется $N = C^n_(n+k)$. Число возможных способов рассадки $n-m$ человек на $n+k-m$ ненужных мест равняется $M = C^(n-m)_(n+k-m)$ - это и будут благоприятствующие случаи. Вычислим вероятность:

$ p = M/N = C^(n-m)_(n+k-m)/C^n_(n+k) $

*Ответ*: $p = C^(n-m)_(n+k-m)/C^n_(n+k)$

= Задание 2.19

Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, семерка и туз.

Число возможных способов достать 3 карты из колоды размером 52 карты $n = C^3_52$. Число возможных способов достать карту определенного ранга, учитывая, что каждый ранг имеет 4 карты разной масти - $a = C^1_4$. Число возможных способов достать 3 карты трёх определенных рангов - $m = a dot a dot a = C^1_4 C^1_4 C^1_4$ - это и будут благоприятствующие случаи. Вычислим вероятность:

$ p = m/n = (C^1_4 C^1_4 C^1_4)/C^3_52 = 64/22100 = 16/5525 approx 0.0029 $

*Ответ*: $p = 16/5525$

= Задание 2.20

Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король - четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты - соответсвенно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Число возможных способов достать 3 карты из колоды размером 36 карт $n = C^3_36 = 7140$. Подсчитаем число возможных способов достать 3 карты $m$, при которых сумма их очков будет равна 21.

Рассмотрим комбинации, при которых мы будем иметь 3 одинаковых по рангу карты. Такая комбинация одна - $(7,7,7)$. Так как карта каждого ранга имеет 4 копии разных мастей, то число способов достать 3 семёрки $m_1 = C^3_4 = 4$.

Рассмотрим комбинации, при которых мы будем иметь 2 одинаковые по рангу карты. Всего таких комбинаций 2 - ${(9,9,3), (6,6,9)}$. Аналогично подсчитаем число способов достать перечисленные комбинации $m_2 = 2 dot C^1_4 dot C^2_4 = 2 dot 4 dot 6 = 48$.

#pagebreak()

Рассмотрим комбинации, при которых мы не будем иметь одинаковых по рангу карт. Всего таких комбинаций 8 - ${(2,8,11), (2,9,10), (3,7,11), (3,8,10), (4,6,11), (4,7,10), (4,8,9), (6,7,8)}$. Аналогично подсчитаем число способов достать перечисленные комбинации $m_3 = 8 dot C^1_4 dot C^1_4 dot C^1_4 = 8 dot 4^3 = 512$.

Общее число возможных способов собрать 21 очко $m = m_1 + m_2 + m_3 = 4 + 48 + 512 = 564$. Подсчитаем вероятность $p$:

$ p = m/n = 564/7140 = 47/595 approx 0.079 $

*Ответ*: $p = 47/595$

= Задание 2.21

Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. определить вероятность того, что:
+ Хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость
+ Все три билета стоят семь рублей

а) Число возможных способов взять наугад 3 билета из 10 билетов $n = C^3_10 = 120$. Подсчитать количество способов, при которых хотя бы 2 билета будут иметь одиаковую стоимость будет проблематично, поэтому для начала вычислим вероятность обратного события $q$ - ни один билет не имеет одинаковую стоимость. Число возможных способов достать 3 разных по стоимости билета $m = C^1_5 dot C^1_3 dot C^1_2 = 5 dot 3 dot 2 = 30$. Вычислим вероятность обратного события $q$, после чего подсчитаем вероятность исходного события $p$:

$ q = m/n = 30/120 = 1/4 $
$ p = 1 - q = 1 - 1/4 = 3/4 = 0.75 $

б) Подсчитаем число возможных способов $m$ достать 3 билета общей ценой 7 рублей. Комбинации билетов, которые будут иметь сумму 7 рублей - ${(5,1,1), (3,3,1)}$. Число возможных способов достать 3 билета с ценами $(5,1,1)$ равняется $m_1 = C^1_2 dot C^2_5 = 2 dot 10 = 20$. Число возможных способов достать 3 билета с ценами $(3,3,1)$ равняется $m_2 = C^2_3 dot C^1_5 = 3 dot 5 = 15$. Общее число возможных способов взять 3 билета с общей суммой 7 рублей $m = m_1 + m_2 = 20 + 15 = 35$. Подсчитаем вероятность $p$:

$ p = m/n = 35/120 = 7/24 approx 0.292 $

*Ответ*:
+ $p = 0.75$
+ $p = 7/24$

#pagebreak()

= Задание 2.22

Очередь в кассу, где производится продажа билетов по 5 коп., состоит из $2n$ человек. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачи, если перед продажей билета первому покупателю из очереди у кассира было только $2m$ пятоков, а получение платы за каждый билет равновозможно как пятаком так и гривенником?

Очевидно, что если $m >= n$, то пятаков будет всегда больше, чем покупателей, кассир сможет дать сдачу каждому человеку из очереди, следовательно $p = 1$.

Рассмотрим случаи, когда $m < n$. Поскольку вероятность оплаты пятаком и гривенником равнозначны, то число возможных способов расставить $2n$ человек с пятаками и гривенниками в очереди $N = 2^(2n)$. Пусть $k$ - количество пятаков у покупателей. Минимальное количество пятаков, при котором возможна ситуация, где ни один покупатель не ждет своей сдачи, равнаяется $(2n - 2m)/2 = n - m$. Максимальное количество пятаков, при котором такая ситуация возможна равняется $m - 1$.

Рассмотрим число возможных способов $N_k$ расстановки человек в очереди с пятаками и гривенниками так, чтобы никто не ждал сдачи. В каждом из случаев необходимо, чтобы $k$ покупателей с пятаками были не дальше $2m$ от кассира, и чтобы расстояние между покупателями с пятаками было не больше $2m$ человек. При $k$ равным $n-m$ число способов.

*Ответ*: $p = 1/2^(2n) dot sum^(n+m)_(k=n-m) C^k_(2n)$