#import "../hw-template.typ"
#import hw-template: *

#show: doc => hw(
    num: 1,
    doc
)

#let ol(text) = $overline(text)$

#outline()
#pagebreak()

= Задание 1.8

Упростить выражение $A = (B+C)(B+ol(C))(ol(B)+C)$

$ A = (B+C)(B+ol(C))(ol(B)+C) = B(ol(B)+C) = B C $

*Ответ*: $B C$

= Задание 1.11

Доказать, что $ol(A)B+A ol(B)+ol(A B)=ol(A B)$

$ ol(A)B+A ol(B)+ol(A B) &= ol(A)B+A ol(B)+ol(A)+ol(B) = ol(A)(B+U)+ol(B)(A+U) = ol(A) + ol(B) = ol(A B) $

= Задание 1.12

Доказать эквивалентность и справедливость следующих двух равенств:

$ ol(sum^n_(k=1) A_k) = product^n_(k=1) ol(A_k) #h(5em) sum^n_(k=1) ol(A_k) = ol(product^n_(k=1) A_k) $



= Задание 1.14

Доказать, что события $A, ol(A)B$ и $ol(A+B)$ образуют полную группу.

События образуют полную группу, если в результате опыта обязательно пройзойдёт хотя бы одно из них, т.е. их сумма будет равна $U$

$ A + ol(A)B + ol(A+B) = A + ol(A)B + ol(A) thin ol(B) = A + ol(A)(B+ol(B)) = A + ol(A) = U $

= Задание 1.15

Два шахматиста играют одну партию. Событие $A$ - выиграет первый игрок, $B$ - выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

Пусть недостоющее событие - $X$, тогда:

$ A + B + X = U \
A + B = U - X \
A + B = U ol(X) \
ol(X) = A + B \
X = ol(A+B) = ol(A) thin ol(B) $

Недостоющее событие - не выиграет ни первый, ни второй игрок (ничья)

*Ответ*: $ol(A) thin ol(B)$
#pagebreak()

= Задание 2.8



= Задание 2.5



= Задание 2.7



= Задание 2.10