#import "../lab-template.typ"
#import lab-template: lab
#import "@preview/cetz:0.2.2": canvas, plot

#show: doc => lab(
    num: 1,
    name: [Ряды Фурье],
    doc
)

= Вещественные функции
Придумайте числа $a, b, t_0, t_1, t_2$ такие, что $a, b > 0$ и $t_2 > t_1 > t_0$. Рассмотрите следующие функции $f : RR -> RR$ и для каждой из функции:

- Постройте график $f(t)$

- Рассмотрите частичные суммы Фурье $F_N$ и $G_N$ вида
$ F_N (t) = a_0/2 + sum^N_(n=1) (a_n cos(omega_n t) + b_n sin(omega_n t)) $
$ G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t) $
где $omega_n = (2 pi n)/T$

- Приведите формулы для вычисления коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для каждого случая. Если значения некоторых из них очевидны, укажите это. Для первой функции (квадратная волна) и $n=0, 1, 2$ вычислите значения указанных коэффициентов вручную.

- Напишите программу, которая вычисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.

- Постройте графики $F_N (t)$ и $G_N (t)$ для пяти различных значений $N$. Сравните их друг с другом и с графиком исходной функции $f(t)$.

- Проверьте выполнение равенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.

1. *Квадратная волна*. Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что
$ f(t) = cases(
    a\, & t in [t_0, t_1),
    b\, & t in [t_1, t_2)
) $

Пусть $a = 1, b = 2$ и $t_0 = 0, t_1 = 1, t_2 = 2$. В таком случае конечная функция будет вида:

$ f(t) = cases(
    1\, & t in [0, 1),
    2\, & t in [1, 2)
) $

Построим график данной функции:

#figure(
    canvas(length: 1.75cm, {
        plot.plot(size: (3, 2),
            x-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
            x-min: -3, x-max: 3,
            y-min: -1, y-max: 4,
            x-grid: true, y-grid: true,
            x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$],
            {
                plot.add(domain: (-2.9, 2.9), t => {
                    let (t0, t1, t2) = (0, 1, 2)
                    if t < 0 { t = -t + 1 }
                    let abs_rem = calc.rem(t, t2 - t0)
                    if abs_rem >= t0 and abs_rem < t1 {
                        return 1
                    } else {
                        return 2
                    }
                }, line: "hvh")
            }
        )
    }), caption: [График квадратной волны $f(t)$]
) <sq_wave>
#pagebreak()

Период функции равен $T = t_2 - t_0 = 2$, рассмотрим функцию на промежутке $[-T/2; T/2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$:

$ a_0 &= 1/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)upright(d)t = 1/2 integral^1_(-1) f(t)upright(d)t = 1/2 (integral^0_(-1) 2 + integral^1_0 1)upright(d)t \
&= 1/2 (2t bar.v^0_(-1) + t bar.v^1_0) = 1/2 (2 + 1) = 3/2 $

$ a_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)cos(pi n t)upright(d)t \
&= (integral^0_(-1) 2cos(pi n t) + integral^(1)_0 cos(pi n t))upright(d)t \
&= (2 sin(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) + sin(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
&= -(2 sin(-pi n))/(pi n) + sin(pi n)/(pi n) = (3 sin(pi n))/(pi n) = 0 $

$ b_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)sin(pi n t)upright(d)t \
&= (integral^0_(-1) 2sin(pi n t) + integral^(1)_0 sin(pi n t))upright(d)t \
&= -(2 cos(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) - cos(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \
&= (2 cos(-pi n))/(pi n) - cos(pi n)/(pi n) = cos(pi n)/(pi n) $

2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору.

#lorem(50)

3. Любая *нечётная* периодическая функция по вашему выбору.

#lorem(50)

4. Любая периодическая функция по вашему выбору, график которой состоит не только из прямых линий, и которая не является *ни чётной, ни нечётной*.

#lorem(50)