#import "../lab-template.typ"
#import lab-template: lab
#import "@preview/cetz:0.2.2": canvas, plot

#show: doc => lab(
    num: 1,
    name: [Ряды Фурье],
    doc
)

= Вещественные функции
Придумайте числа $a, b, t_0, t_1, t_2$ такие, что $a, b > 0$ и $t_2 > t_1 > t_0$. Рассмотрите следующие функции $f : RR -> RR$ и для каждой из функции:

- Постройте график $f(t)$

- Рассмотрите частичные суммы Фурье $F_N$ и $G_N$ вида
$ F_N (t) = a_0/2 + sum^N_(n=1) (a_n cos(omega_n t) + b_n sin(omega_n t)) $
$ G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t) $
где $omega_n = (2 pi n)/T$

- Приведите формулы для вычисления коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для каждого случая. Если значения некоторых из них очевидны, укажите это. Для первой функции (квадратная волна) и $n=0, 1, 2$ вычислите значения указанных коэффициентов вручную.

- Напишите программу, которая ывчисляет коэффициениты Фурье $(a_n, b_n)$ и $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.

- Постройте графики $F_N (t)$ и $G_N (t)$ для пяти различных значений $N$. Сравните их друг с другом и с графиком исходной функции $f(t)$.

- Проверьте выполнение оавенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$.

1. *Квадратная волна*. Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что
$ f(t) = cases(
    a\, & t in [t_0, t_1),
    b\, & t in [t_1, t_2)
) $

Пусть $a = 1, b = 2$ и $t_0 = 0, t_1 = 1, t_2 = 2$. В таком случае конечная функция будет вида:

$ f(t) = cases(
    1\, & t in [0, 1),
    2\, & t in [1, 2)
) $

Построим график данной функции:

#figure(
    canvas(length: 1.5cm, {
        plot.plot(size: (3, 3),
            x-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
            x-min: -3, x-max: 3,
            y-min: -3, y-max: 3,
            x-grid: true, y-grid: true,
            {
                plot.add(domain: (-3, 3), t => {
                    let (t0, t1, t2) = (0, 1, 2)
                    let T = t2 - t0
                    let abs_rem = calc.rem(calc.abs(t), T)
                    if abs_rem >= t0 and abs_rem <= t1 {
                        return 1
                    } else {
                        return 2
                    }
                })
            }
        )
    })
)

2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору.

#lorem(50)

3. Любая *нечётная* периодическая функция по вашему выбору.

#lorem(50)

4. Любая периодическая функция по вашему выбору, график которой состоит не только из прямых линий, и которая не является *ни чётной, ни нечётной*.

#lorem(50)