started task 2 of lab1

chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ

@@ -674,4 +674,101 @@ $ a^2_0/2 + sum^infinity_(n=1) (a^2_n + b^2_n) &= 2/9 + sum^infinity_(k=1) (8/(p
 &= 2/9 + 4/pi^4 dot pi^4/90 + 2304/pi^6 dot pi^6/960 = 2/9 + 2/45 + 12/5 = 120/45 = 8/3 $
 
 Левая часть равняется правой, равенство выполняется - коэффициенты подсчитаны верно.
+#pagebreak()
 
+= Комплексная функция
+
+Задайтесь числами $R, T > 0$ и рассмотрите комплекснозначную функцию $f: RR -> CC$ с периодом $T$ такую, что
+
+$ upright("Re")f(t) = cases(
+    R\, & t in [-T/8; T/8),
+    2R - (8R t)/T\, & t in [T/8; (3T)/8),
+    -R\, & t in [(3T)/8; (5T)/8),
+    -6R + (8R t)/T\, & t in [(5T)/8; (7T)/8)
+) #h(3em) upright("Im")f(t) = cases(
+    (8R t)/T\, & t in [-T/8; T/8),
+    R\, & t in [T/8; (3T)/8),
+    4R - (8R t)/T\, & t in [(3T)/8; (5T)/8),
+    -R\, & t in [(5T)/8; (7T)/8)
+) $
+
+Для рассматриваемой функции $f$:
+
+- Постройте параметрический график $f(t)$ (кривую на комплексной плоскости).
+
+- Рассмотрите частичные суммы Фурье $G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t)$, где $omega_n = (2pi n)/T$
+
+- Вычислите вручную коэффициенты $c_n$ для $n = 0, 1, 2$
+
+- Напишите программу, которая вычисляет коэффициенты Фурье $c_n$ для произвольного $N$. Приведите в отчёте коэффициенты для случая $N = 3$.
+
+- Постройте параметрические графики $G_N (t)$ для $N = 1, 2, 3, 10$. Сравните их друг с другом и с параметрическим графиком исходной функции $f(t)$.
+
+- Проверьте выполнение равенства Парсеваля
+
+Пусть $R = 1$, $T = 8$, получим следующую функцию:
+
+$ upright("Re")f(t) = cases(
+    1\, & t in [-1; 1),
+    2 - t\, & t in [1; 3),
+    -1\, & t in [3; 5),
+    -6 + t\, & t in [5; 7)
+) #h(3em) upright("Im")f(t) = cases(
+    t\, & t in [-1; 1),
+    1\, & t in [1; 3),
+    4 - t\, & t in [3; 5),
+    -1\, & t in [5; 7)
+) $
+
+Построим график данной функции на вещественной и комплексной плоскостях:
+
+#figure(
+    canvas(length: 1.25cm, {
+        plot.plot(size: (8, 4),
+            x-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
+            x-min: -10, x-max: 10,
+            y-min: -3, y-max: 3,
+            x-grid: true, y-grid: true,
+            x-label: [t], y-label: [$f(t)$],
+            {
+                plot.add(domain: (-9.99, 9.99), t => {
+                    let (t0, t1, t2, t3, t4) = (-1, 1, 3, 5, 7)
+                    if t < t0 { t = -t + t0 + 1 }
+                    let tt = calc.rem(t - t0, t4 - t0) + t0
+                    if tt >= t0 and tt < t1 {
+                        return 1
+                    } else if tt >= t1 and tt < t2 {
+                        return 2 - tt
+                    } else if tt >= t2 and tt < t3 {
+                        return -1
+                    } else {
+                        return -6 + tt
+                    }
+                }, line: "linear", samples: 1000, label: [Re$f(t)$#v(1em)])
+                plot.add(domain: (-9.99, 9.99), t => {
+                        let (t0, t1, t2, t3, t4) = (-1, 1, 3, 5, 7)
+                        if t < t0 { t = -t + t0 - 3 }
+                        let tt = calc.rem(t - t0, t4 - t0) + t0
+                        if tt >= t0 and tt < t1 {
+                            return tt
+                        } else if tt >= t1 and tt < t2 {
+                            return 1
+                        } else if tt >= t2 and tt < t3 {
+                            return 4-t
+                        } else {
+                            return -1
+                        }
+                    }, line: "linear", samples: 1000, label: [Im$f(t)$], style: (stroke: yellow))
+            }
+        )
+    }), caption: [График комплексной функции $f(t)$]
+)
+#pagebreak()
+
+Период функции $T = 8$, $omega_n = (pi n)/4$. Рассмотрим функцию на промежутке $[-1; 7]$ и найдём коэффициент $c_n$:
+
+$ c_n &= 1/T integral^7_(-1) f(t)e^(i omega_n t) upright(d)t = \
+&= ... \
+&= (((omega_n-1)sin(omega_n) + omega_n cos(omega_n))(1+i e^(2i omega_n) -i e^(4i omega_n) -i e^(6i omega_n)))/(4omega_n^2) \
+&= ((((pi n)/4-1)sin((pi n)/4) + (pi n)/4 cos((pi n)/4))(1+i e^(i (pi n)/2) -i e^(i pi n) -i e^(i (3pi n)/2)))/((pi^2 n^2)/4) $
+