From 90d1f589b52ba843609b7730f0ba9905e2812fb0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: erius Date: Tue, 10 Sep 2024 04:52:58 +0300 Subject: [PATCH] Fixed gitignore Added fourier.py program for lab1 More work done on lab1 --- .gitignore | 2 +- chastotnie-methods/lab-template.typ | 11 + chastotnie-methods/lab1/fourier.py | 27 +++ chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ | 191 ++++++++++++++++-- 4 files changed, 208 insertions(+), 23 deletions(-) create mode 100644 chastotnie-methods/lab1/fourier.py diff --git a/.gitignore b/.gitignore index c9c16aa..a136337 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -1 +1 @@ -.pdf +*.pdf diff --git a/chastotnie-methods/lab-template.typ b/chastotnie-methods/lab-template.typ index 67c182e..510497a 100644 --- a/chastotnie-methods/lab-template.typ +++ b/chastotnie-methods/lab-template.typ @@ -34,6 +34,15 @@ } }) + #show raw.where(block: true): code => { + show raw.line: line => { + text(fill: gray)[#line.number] + h(1em) + line.body + } + code + } + #show heading: it => { set text(size: 14pt, weight: "bold") block(above: 1.5em, below: 1.5em, it) @@ -60,3 +69,5 @@ #doc ] +#let numbered_eq(content) = math.equation(block: true, numbering: "(1)", content) + diff --git a/chastotnie-methods/lab1/fourier.py b/chastotnie-methods/lab1/fourier.py new file mode 100644 index 0000000..881ab9d --- /dev/null +++ b/chastotnie-methods/lab1/fourier.py @@ -0,0 +1,27 @@ +import sys +import math + +function_formulas = [ + # 1. Square wave + { + 'an': lambda n: 3 if n == 0 else 0, + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (math.pi * n), + 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (math.pi * n)) + } +] + +index, nn = int(sys.argv[1]), int(sys.argv[2]) + +formulas = function_formulas[index - 1] +coefficients = {'an': [], 'bn': [], 'cn': []} + +for coefficient in coefficients: + for n in range(0, nn + 1): + calc = formulas[coefficient](n) + coefficients[coefficient].append(f'{n}: {calc:.5g}') + if coefficient == 'cn' and n != 0: + calc = formulas[coefficient](-n) + coefficients[coefficient].insert(0, f'{-n}: {calc:.5g}') + +for coefficient in coefficients: + print(f'{coefficient} values: ', coefficients[coefficient]) diff --git a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ index 897b952..c0919dc 100644 --- a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ +++ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ @@ -1,5 +1,5 @@ #import "../lab-template.typ" -#import lab-template: lab +#import lab-template: * #import "@preview/cetz:0.2.2": canvas, plot #show: doc => lab( @@ -9,7 +9,7 @@ ) = Вещественные функции -Придумайте числа $a, b, t_0, t_1, t_2$ такие, что $a, b > 0$ и $t_2 > t_1 > t_0$. Рассмотрите следующие функции $f : RR -> RR$ и для каждой из функции: +Придумайте числа $a, b, t_0, t_1, t_2$ такие, что $a, b > 0$ и $t_2 > t_1 > t_0 > 0$. Рассмотрите следующие функции $f : RR -> RR$ и для каждой из функции: - Постройте график $f(t)$ @@ -32,26 +32,26 @@ $ f(t) = cases( b\, & t in [t_1, t_2) ) $ -Пусть $a = 1, b = 2$ и $t_0 = 0, t_1 = 1, t_2 = 2$. В таком случае конечная функция будет вида: +Пусть $a = 1, b = 2$ и $t_0 = 1, t_1 = 2, t_2 = 3$. В таком случае конечная функция будет вида: $ f(t) = cases( - 1\, & t in [0, 1), - 2\, & t in [1, 2) + 1\, & t in [1, 2), + 2\, & t in [2, 3) ) $ Построим график данной функции: #figure( - canvas(length: 1.75cm, { - plot.plot(size: (3, 2), + canvas(length: 1.25cm, { + plot.plot(size: (8, 4), x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, x-min: -3, x-max: 3, - y-min: -1, y-max: 4, + y-min: 0, y-max: 3, x-grid: true, y-grid: true, x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$], { - plot.add(domain: (-2.9, 2.9), t => { - let (t0, t1, t2) = (0, 1, 2) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (1, 2, 3) if t < 0 { t = -t + 1 } let abs_rem = calc.rem(t, t2 - t0) if abs_rem >= t0 and abs_rem < t1 { @@ -59,27 +59,174 @@ $ f(t) = cases( } else { return 2 } - }, line: "hvh") + }, line: "hvh", samples: 100) } ) }), caption: [График квадратной волны $f(t)$] ) #pagebreak() -Период функции равен $T = t_2 - t_0 = 2$, рассмотрим функцию на промежутке $[-T/2; T/2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$: +Период функции равен $T = t_2 - t_0 = 2$, рассмотрим функцию на промежутке $[1; 3]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$: -$ a_0 &= 1/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)upright(d)t = 1/2 integral^1_(-1) f(t)upright(d)t = 1/2 (integral^0_(-1) 2 + integral^1_0 1)upright(d)t \ -&= 1/2 (2t bar.v^0_(-1) + t bar.v^1_0) = 1/2 (2 + 1) = 3/2 $ +$ a_0 &= 1/(T/2) integral^(3)_(1) f(t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)upright(d)t = (integral^2_1 1 + integral^3_2 2)upright(d)t = (lr(t|)^2_1 + lr(2t|)^3_2) \ +&= 2 - 1 + 6 - 4 = 3 $ -$ a_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)cos(pi n t)upright(d)t \ -&= (integral^0_(-1) 2cos(pi n t) + integral^(1)_0 cos(pi n t))upright(d)t \ -&= (2 sin(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) + sin(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \ -&= -(2 sin(-pi n))/(pi n) + sin(pi n)/(pi n) = (3 sin(pi n))/(pi n) = 0 $ +$ a_n &= 1/(T/2) integral^3_1 f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)cos(pi n t)upright(d)t \ +&= (integral^2_1 cos(pi n t) + integral^3_2 2cos(pi n t))upright(d)t = lr(sin(pi n t)/(pi n)|)^2_1 + lr((2sin(pi n t))/(pi n)|)^3_2 \ +&= sin(2pi n)/(pi n) - sin(pi n)/(pi n) + (2sin(3pi n))/(pi n) - (2sin(2pi n))/(pi n) \ +&= 0 "(т.к. " sin(3pi n) = sin(2pi n) = sin(pi n) = 0")" $ -$ b_n &= 2/T integral^(T/2)_(-T/2) f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^(1)_(-1) f(t)sin(pi n t)upright(d)t \ -&= (integral^0_(-1) 2sin(pi n t) + integral^(1)_0 sin(pi n t))upright(d)t \ -&= -(2 cos(pi n t))/(pi n) bar.v^0_(-1) - cos(pi n t)/(pi n) bar.v^(1)_0 \ -&= (2 cos(-pi n))/(pi n) - cos(pi n)/(pi n) = cos(pi n)/(pi n) $ +$ b_n &= 1/(T/2) integral^3_1 f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)sin(pi n t)upright(d)t \ +&= (integral^2_1 sin(pi n t) + integral^3_2 2sin(pi n t))upright(d)t = lr(-cos(pi n t)/(pi n)|)^2_1 - lr((2cos(pi n t))/(pi n)|)^3_2 \ +&= -cos(2pi n)/(pi n) + cos(pi n)/(pi n) - (2cos(3pi n))/(pi n) + (2cos(2pi n))/(pi n) \ +&= cos(2pi n)/(pi n) + cos(pi n)/(pi n) - (2cos(pi n))/(pi n) = 1/(pi n) - cos(pi n)/(pi n) = (1 - (-1)^n)/(pi n) \ +&= cases( + 0\, & n = 2k, + 2/(pi n)\, & n = 2k - 1 +), k in ZZ $ + +$ c_n &= 1/T integral^3_1 f(t)e^(i omega_n t) = 1/2 integral^3_1 f(t)e^(i pi n t) = 1/2 (integral^2_1 e^(i pi n t) + integral^3_2 2e^(i pi n t))upright(d)t \ +&= 1/2 (lr(-(i e^(i pi n t))/(pi n)|)^2_1 - lr((2i e^(i pi n t))/(pi n)|)^3_2) = -(i e^(2i pi n))/(2pi n) + (i e^(i pi n))/(2pi n) - (2i e^(3i pi n))/(2pi n) + (2i e^(2i pi n))/(2pi n) \ +&= (i e^(2i pi n))/(2pi n) - (i e^(i pi n))/(2pi n) = i/(2pi n) - (i(-1)^n)/(2pi n) = (i(1 - (-1)^n))/(2pi n) \ +&= cases( + 0\, & n = 2k, + i/(pi n)\, & n = 2k - 1 +), k in ZZ $ + +$ a_0 &= c_0 = 3, a_n = 0, \ +b_n &= cases( + 0\, & n = 2k, + 2/(pi n)\, & n = 2k - 1 +), k in ZZ \ +c_n &= cases( + 0\, & n = 2k, + i/(pi n)\, & n = 2k - 1 +), k in ZZ $ + +Вычислим значения коэффициентов для $n = 0, 1, 2$: + +$ A = vec(a_0, a_1, a_2) = vec(3, 0, 0), B = vec(b_0, b_1, b_2) = vec(0, 2/pi, 0), C = vec(c_0, c_1, c_2) = vec(3, i/pi, 0) $ + +Вручную считать тяжко, поэтому напишем программу на _Python_, которая будет принимать на вход $N$ и считать коэффициенты по найденным формулам: + +#figure(```python +import sys +import math + +function_formulas = [ + # 1. Square wave + { + 'an': lambda n: 3 if n == 0 else 0, + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (math.pi * n), + 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (math.pi * n)) + + } +] + +index, nn = int(sys.argv[1]), int(sys.argv[2]) + +formulas = function_formulas[index - 1] +coefficients = {'an': [], 'bn': [], 'cn': []} + +for coefficient in coefficients: + for n in range(0, nn + 1): + calc = formulas[coefficient](n) + coefficients[coefficient].append(f'{n}: {calc:.5g}') + +for coefficient in coefficients: + print(f'{coefficient} values: ', coefficients[coefficient]) +```, caption: "Код программы для подсчета коэффициентов") + +Программа принимает на вход номер задания соответствующей функции и произвольное $N$ и выводит подсчитанные коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ для $n = 0,1,2...N$. Список _function_formulas_ хранит формулы для расчетов коэффитциентов в виде лямда выражений для каждой функции, данный список будет расширяться по мере нахождения формул для других функций. + +Воспользуемся программой для нахождения коэффициентов для $N = 3$, нас интересует функция 1 - квадратная волна, вызывыаем программу с аргументами _1_ и _3_: + +#figure(``` +$ python fourier.py 1 3 +an values: ['0: 3', '1: 0', '2: 0', '3: 0'] +bn values: ['0: 0', '1: 0.63662', '2: 0', '3: 0.21221'] +cn values: ['-3: -0-0.1061j', '-2: 0', '-1: -0-0.31831j', '0: 3', '1: 0+0.31831j', '2: 0', '3: 0+0.1061j'] +```, caption: "Ввывод программы для первой функции") + +Значения коэффициентов для $n = 0, 1, 2$ совпадают с посчитанными вручную, значит высока вероятность, что программа работает корректно. Также стоит заметить, что программа округляет коэффициенты до 5 знаков после запятой и считает дополнительно коэффициенты $c_n$ для отрицательных $n$ + +Запишем частичные суммы Фурье $F_3$ и $G_3$ с учётом подсчитанных коэффициентов: + +$ F_3(t) = 3/2 + 0.63662sin(pi t) + 0.21221sin(3pi t) $ +$ G_3(t) = -0.1061i e^(-3i pi t) -0.31831i e^(-i pi t) + 3/2 + 0.31831i e^(i pi t) + 0.1061i e^(3i pi t) $ + +С помощью программы из @prog, подсчитаем также коэффициенты для $N = 5, 7, 9$, после чего построим график $F_N (t)$ для значений $N = 1, 3, 5, 7, 9$ и сравним их с $f(t)$. Графики $G_N (t)$ получатся аналогичны $F_N (t)$, поскольку изначальная функция не является комплексной (вещественная часть будет совпадать, а комплексной части - нет): + +#figure( + canvas(length: 1.75cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -3, x-max: 3, + y-min: 0, y-max: 3, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$F_N (t)$], + { + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (1, 2, 3) + if t < 0 { t = -t + 1 } + let abs_rem = calc.rem(t, t2 - t0) + if abs_rem >= t0 and abs_rem < t1 { + return 1 + } else { + return 2 + } + }, line: "hvh", samples: 100, label: [$f(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + 3/2 + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_1(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + 3/2 + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_3(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + 3/2 + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_5(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + 3/2 + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) + 0.090946*calc.sin(7*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_7(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-2.99, 2.99), t => { + 3/2 + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) + 0.090946*calc.sin(7*calc.pi*t) + 0.070736*calc.sin(9*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, style: (stroke: purple), label: [$F_9(t)$]) + } + ) + }), caption: [Графики частичных сумм Фурье $F_N (t)$ и $f(t)$] +) + +Из графиков видно, что сумма Фурье $F_N (t)$ сходится к исходной функции $f(t)$ при $N -> infinity$ - коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ подсчитаны верно. + +Проверим выполнение равенства Парсеваля: + +$ integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ + +Вычислим левую часть: + +$ integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = (integral^2_1 1^2 + integral^3_2 2^2) upright(d)t = lr(t|)^2_1 + lr(4t|)^3_2 = 2 - 1 + 12 - 8 = 5 $ + +#pagebreak() + +Подробнее рассмотрим ряд из правой части равенства: + +$ sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) = sum^infinity_(n=1) b_n^2 $ + +Коэффициент $b_n$ задан частями, при чётных $n$ он равен $0$, а при нечётных $2/(pi n)$. В таком случае можно игнорировать все чётные значения $n$ ($2k$) и рассматривать лишь нечётные ($2k - 1$): + +$ sum^infinity_(n=1) b_n^2 = sum^infinity_(k=1) (2/(pi(2k - 1)))^2 = 4/pi^2 sum^infinity_(k=1) 1/(2k - 1)^2 $ + +Полученный нами ряд состоит из элементов ${1, 1/9, 1/25, 1/49...}$. Рассмотрим ряды ${1/k^2; k in NN}$ ${1/(4k^2); k in NN}$. Они состоят соответсвенно из элементов ${1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49...}$ и ${1/4, 1/16, 1/36...}$. Заметим, что исключив из ряда ${1/k^2; k in NN}$ элементы ряда ${1/(4k^2); k in NN}$, мы получим наш исходный ряд, следовательно, сумма исходного ряда будет равна разности сумм введённых рядов: + +$ sum^infinity_(k=1) 1/(2k - 1)^2 = sum^infinity_(k=1) 1/k^2 - sum^infinity_(k=1) 1/(4k^2) = 3/4 sum^infinity_(k=1) 1/k^2 = 3/4 dot pi^2/6 = pi^2/8 $ + +$ sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) = sum^infinity_(n=1) b_n^2 = 4/pi^2 dot pi^2/8 = 1/2 $ + +$ a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) = 9/2 + 1/2 = 10/2 = 5 $ + +$ underbrace(integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t, 5) = underbrace(a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2), 5) $ + +Левая и правая часть равны - равенство Парсеваля выполняется. 2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору.