From 39965f1ac76cdec4d72811eab2e8aefef4cb9a7f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: erius Date: Wed, 11 Sep 2024 05:42:57 +0300 Subject: [PATCH] Finished task 1 in lab1 --- chastotnie-methods/lab1/fourier.py | 32 +- chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ | 483 +++++++++++++++++- 2 files changed, 486 insertions(+), 29 deletions(-) diff --git a/chastotnie-methods/lab1/fourier.py b/chastotnie-methods/lab1/fourier.py index 881ab9d..e70aee1 100644 --- a/chastotnie-methods/lab1/fourier.py +++ b/chastotnie-methods/lab1/fourier.py @@ -1,16 +1,38 @@ -import sys -import math +from sys import argv +from math import pi function_formulas = [ # 1. Square wave { 'an': lambda n: 3 if n == 0 else 0, - 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (math.pi * n), - 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (math.pi * n)) + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (pi * n), + 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (pi * n)) + }, + # 2. Even func + { + 'an': lambda n: 0 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 8 / (pi ** 2 * n ** 2)), + 'bn': lambda n: 0, + 'cn': lambda n: 0 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 4 / (pi ** 2 * n ** 2)) + }, + # 3. Odd func + { + 'an': lambda n: 0, + 'bn': lambda n: 0 if n == 0 else 2 * (-1) ** (n + 1) / (pi * n), + 'cn': lambda n: 0 if n == 0 else (-1) ** n / (pi * n) if n > 0 else (-1) ** (n + 1) / (pi * n) + }, + # 4. Not odd and not even func + { + 'an': lambda n: -2/3 if n == 0 else (8 / (pi ** 2 * n ** 2) if n % 2 == 0 else 0), + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else -48 / (pi ** 3 * n ** 3), + 'cn': lambda n: -1/3 if n == 0 else ( + (4 / (pi ** 2 * n ** 2) if n % 2 == 0 else 24j / (pi ** 3 * n ** 3)) + if n > 0 else + (4 / (pi ** 2 * n ** 2) if n % 2 == 0 else -24j / (pi ** 3 * n ** 3)) + ) } ] -index, nn = int(sys.argv[1]), int(sys.argv[2]) +index, nn = int(argv[1]), int(argv[2]) formulas = function_formulas[index - 1] coefficients = {'an': [], 'bn': [], 'cn': []} diff --git a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ index c0919dc..dede18e 100644 --- a/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ +++ b/chastotnie-methods/lab1/Егор_Капралов_5_1.typ @@ -26,7 +26,10 @@ $ G_N (t) = sum^N_(n=-N) c_n e^(i omega_n t) $ - Проверьте выполнение равенства Парсеваля для коэффициентов $(a_n, b_n)$ и $c_n$. -1. *Квадратная волна*. Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что +== *Квадратная волна* + +Периодическая функция с периодом $T = t_2 - t_0$ такая, что + $ f(t) = cases( a\, & t in [t_0, t_1), b\, & t in [t_1, t_2) @@ -42,7 +45,7 @@ $ f(t) = cases( Построим график данной функции: #figure( - canvas(length: 1.25cm, { + canvas(length: 0.9cm, { plot.plot(size: (8, 4), x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, x-min: -3, x-max: 3, @@ -73,8 +76,7 @@ $ a_0 &= 1/(T/2) integral^(3)_(1) f(t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)upright(d)t $ a_n &= 1/(T/2) integral^3_1 f(t)cos(omega_n t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)cos(pi n t)upright(d)t \ &= (integral^2_1 cos(pi n t) + integral^3_2 2cos(pi n t))upright(d)t = lr(sin(pi n t)/(pi n)|)^2_1 + lr((2sin(pi n t))/(pi n)|)^3_2 \ -&= sin(2pi n)/(pi n) - sin(pi n)/(pi n) + (2sin(3pi n))/(pi n) - (2sin(2pi n))/(pi n) \ -&= 0 "(т.к. " sin(3pi n) = sin(2pi n) = sin(pi n) = 0")" $ +&= overbrace(sin(2pi n)/(pi n), 0) - overbrace(sin(pi n)/(pi n), 0) + (2overbrace(sin(3pi n), 0))/(pi n) - overbrace((2sin(2pi n))/(pi n), 0) = 0 $ $ b_n &= 1/(T/2) integral^3_1 f(t)sin(omega_n t)upright(d)t = integral^3_1 f(t)sin(pi n t)upright(d)t \ &= (integral^2_1 sin(pi n t) + integral^3_2 2sin(pi n t))upright(d)t = lr(-cos(pi n t)/(pi n)|)^2_1 - lr((2cos(pi n t))/(pi n)|)^3_2 \ @@ -110,20 +112,19 @@ $ A = vec(a_0, a_1, a_2) = vec(3, 0, 0), B = vec(b_0, b_1, b_2) = vec(0, 2/pi, 0 Вручную считать тяжко, поэтому напишем программу на _Python_, которая будет принимать на вход $N$ и считать коэффициенты по найденным формулам: #figure(```python -import sys -import math +from sys import argv +from math import pi function_formulas = [ # 1. Square wave { 'an': lambda n: 3 if n == 0 else 0, - 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (math.pi * n), - 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (math.pi * n)) - + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else 2 / (pi * n), + 'cn': lambda n: 3 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 1j / (pi * n)) } ] -index, nn = int(sys.argv[1]), int(sys.argv[2]) +index, nn = int(argv[1]), int(argv[2]) formulas = function_formulas[index - 1] coefficients = {'an': [], 'bn': [], 'cn': []} @@ -132,10 +133,13 @@ for coefficient in coefficients: for n in range(0, nn + 1): calc = formulas[coefficient](n) coefficients[coefficient].append(f'{n}: {calc:.5g}') + if coefficient == 'cn' and n != 0: + calc = formulas[coefficient](-n) + coefficients[coefficient].insert(0, f'{-n}: {calc:.5g}') for coefficient in coefficients: print(f'{coefficient} values: ', coefficients[coefficient]) -```, caption: "Код программы для подсчета коэффициентов") +```, caption: "Код программы для подсчета коэффициентов") Программа принимает на вход номер задания соответствующей функции и произвольное $N$ и выводит подсчитанные коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ для $n = 0,1,2...N$. Список _function_formulas_ хранит формулы для расчетов коэффитциентов в виде лямда выражений для каждой функции, данный список будет расширяться по мере нахождения формул для других функций. @@ -146,7 +150,7 @@ $ python fourier.py 1 3 an values: ['0: 3', '1: 0', '2: 0', '3: 0'] bn values: ['0: 0', '1: 0.63662', '2: 0', '3: 0.21221'] cn values: ['-3: -0-0.1061j', '-2: 0', '-1: -0-0.31831j', '0: 3', '1: 0+0.31831j', '2: 0', '3: 0+0.1061j'] -```, caption: "Ввывод программы для первой функции") +```, caption: "Ввывод программы для первой функции") Значения коэффициентов для $n = 0, 1, 2$ совпадают с посчитанными вручную, значит высока вероятность, что программа работает корректно. Также стоит заметить, что программа округляет коэффициенты до 5 знаков после запятой и считает дополнительно коэффициенты $c_n$ для отрицательных $n$ @@ -193,18 +197,18 @@ $ G_3(t) = -0.1061i e^(-3i pi t) -0.31831i e^(-i pi t) + 3/2 + 0.31831i e^(i pi }, line: "spline", samples: 100, style: (stroke: purple), label: [$F_9(t)$]) } ) - }), caption: [Графики частичных сумм Фурье $F_N (t)$ и $f(t)$] -) + }), caption: [Графики частичных сумм Фурье первой функции $F_N (t)$ и $f(t)$] +) Из графиков видно, что сумма Фурье $F_N (t)$ сходится к исходной функции $f(t)$ при $N -> infinity$ - коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ подсчитаны верно. Проверим выполнение равенства Парсеваля: -$ integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ +$ 1/(T/2) integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ Вычислим левую часть: -$ integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = (integral^2_1 1^2 + integral^3_2 2^2) upright(d)t = lr(t|)^2_1 + lr(4t|)^3_2 = 2 - 1 + 12 - 8 = 5 $ +$ 1/(T/2) integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t = (integral^2_1 1^2 + integral^3_2 2^2) upright(d)t = lr(t|)^2_1 + lr(4t|)^3_2 = 2 - 1 + 12 - 8 = 5 $ #pagebreak() @@ -216,7 +220,7 @@ $ sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) = sum^infinity_(n=1) b_n^2 $ $ sum^infinity_(n=1) b_n^2 = sum^infinity_(k=1) (2/(pi(2k - 1)))^2 = 4/pi^2 sum^infinity_(k=1) 1/(2k - 1)^2 $ -Полученный нами ряд состоит из элементов ${1, 1/9, 1/25, 1/49...}$. Рассмотрим ряды ${1/k^2; k in NN}$ ${1/(4k^2); k in NN}$. Они состоят соответсвенно из элементов ${1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49...}$ и ${1/4, 1/16, 1/36...}$. Заметим, что исключив из ряда ${1/k^2; k in NN}$ элементы ряда ${1/(4k^2); k in NN}$, мы получим наш исходный ряд, следовательно, сумма исходного ряда будет равна разности сумм введённых рядов: +Полученный нами ряд состоит из элементов ${1, 1/9, 1/25, 1/49...}$. Рассмотрим ряды ${1/k^2; k in NN}$ и ${1/(4k^2); k in NN}$. Они состоят соответсвенно из элементов ${1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49...}$ и ${1/4, 1/16, 1/36...}$. Заметим, что исключив из ряда ${1/k^2; k in NN}$ элементы ряда ${1/(4k^2); k in NN}$, мы получим наш исходный ряд, следовательно, сумма элементов исходного ряда будет равна разности сумм элементов рядов ${1/k^2; k in NN}$ и ${1/(4k^2); k in NN}$: $ sum^infinity_(k=1) 1/(2k - 1)^2 = sum^infinity_(k=1) 1/k^2 - sum^infinity_(k=1) 1/(4k^2) = 3/4 sum^infinity_(k=1) 1/k^2 = 3/4 dot pi^2/6 = pi^2/8 $ @@ -226,17 +230,448 @@ $ a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) = 9/2 + 1/2 = 10/2 = 5 $ $ underbrace(integral^3_1 (f(t))^2 upright(d)t, 5) = underbrace(a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2), 5) $ -Левая и правая часть равны - равенство Парсеваля выполняется. +Левая и правая части равны - равенство Парсеваля выполняется. -2. Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору. +== Любая *чётная* периодическая функция по вашему выбору -#lorem(50) +Проанализируем следующую чётную функцию: -3. Любая *нечётная* периодическая функция по вашему выбору. +$ f(t) = cases( + t + 1\, & t in [-2; 0), + -t + 1\, & t in [0; 2) +) $ -#lorem(50) +Построим график данной функции: -4. Любая периодическая функция по вашему выбору, график которой состоит не только из прямых линий, и которая не является *ни чётной, ни нечётной*. +#figure( + canvas(length: 0.85cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -2, y-max: 2, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (-2, 0, 2) + let tt = calc.rem(calc.abs(t) - t0, t2 - t0) + t0 + if tt >= t0 and tt < t1 { + return tt + 1 + } else { + return -tt + 1 + } + }, line: "linear", samples: 1000) + } + ) + }), caption: [График треугольной волны $f(t)$] +) -#lorem(50) +По графику данной функции видно, что это - треугольная волна, $T = 4$, $omega_n = (pi n)/2$. Рассмотрим функцию на промежутке $[-2; 2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$, пользуясь свойствами чётности функции: + +$ a_0 &= 1/(T/2) integral^2_(-2) underbrace(f(t), "even") upright(d)t = 1/2 dot 2integral^2_0 f(t) upright(d)t = integral^2_0 (-t + 1) upright(d)t \ +&= 2lr((-t^2/2 + t)|)^2_0 = -4 + 4 = 0 $ + +$ a_n &= 1/(T/2) integral^2_(-2) underbrace(underbrace(f(t), "even")underbrace(cos(omega_n t), "even"), "even") upright(d)t = 1/2 dot 2integral^2_0 (-t + 1)cos(omega_n t) upright(d)t = integral^2_0 cos(omega_n t) upright(d)t - integral^2_0 t cos(omega_n t) upright(d)t \ +&= lr((sin(omega_n t))/omega_n|)^2_0 - lr((t sin(omega_n t))/omega_n|)^2_0 + integral^2_0 sin(omega_n t)/omega_n upright(d)t \ +&= (2overbrace(sin(pi n), 0))/(pi n) - (2overbrace(sin(0), 0))/(pi n) - (4overbrace(sin(pi n), 0))/(pi n) - lr((cos(omega_n t))/omega_n^2|)^2_0 = -(4cos(pi n))/(pi^2 n^2) + (4cos(0))/(pi^2 n^2) \ +&= (4(1 - (-1)^n))/(pi^2 n^2) = cases( + 0 \, & n = 2k, + 8/(pi^2 n^2) \, & n = 2k - 1, +), k in ZZ $ + +Поскольку интеграл нечётной функции (которая получается в результате умножения чётной и нечётной) на симметричном интервале равен 0, то $b_n$ также равен 0: + +$ b_n = 1/(T/2) integral^2_(-2) underbrace(underbrace(f(t), "even")underbrace(sin(omega_n t), "odd"), "odd") upright(d)t = 0 $ + +Для подсчёта коэффициента $c_n$ воспользуемся способом отличным от пункта 1 - вычислим его с помощью уже известных нам коэффициентов $a_n$ и $b_n$: + +$ c_0 = a_0/2 = 0 $ + +$ c_n = (a_n - i b_n)/2 = a_n/2 = cases( + 0 \, & n = 2k, + 4/(pi^2 n^2) \, & n = 2k - 1, +), k in ZZ $ + +$ c_(-n) = (a_n + i b_n)/2 = a_n/2 = cases( + 0 \, & n = 2k, + 4/(pi^2 n^2) \, & n = 2k - 1, +), k in ZZ $ +#pagebreak() + +Дополним программу @prog новой чётной функцией: + +#figure(```python +... +function_formulas = [ + ... + # 2. Even func + { + 'an': lambda n: 0 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 8 / (pi ** 2 * n ** 2)), + 'bn': lambda n: 0, + 'cn': lambda n: 0 if n == 0 else (0 if n % 2 == 0 else 4 / (pi ** 2 * n ** 2)) + } + ... +] +... +```, caption: "Дополнение программы чётной функцией") + +Вновь воспользуемся программой для вычисления коэффициентов для $N=3$ и запишем частичные суммы Фурье: + +#figure(``` +$ python fourier.py 2 3 +an values: ['0: 0', '1: 0.81057', '2: 0', '3: 0.090063'] +bn values: ['0: 0', '1: 0', '2: 0', '3: 0'] +cn values: ['-3: 0.045032', '-2: 0', '-1: 0.40528', '0: 0', '1: 0.40528', '2: 0', '3: 0.045032'] +```, caption: "Ввывод программы для второй функции") + +$ F_3(t) = 0.81057cos(pi/2 t) + 0.090063cos((3pi)/2 t) $ +$ G_3(t) = 0.045032e^(-(3i pi)/2 t) + 0.40528e^(-(i pi)/2 t) + 0.40528e^((i pi)/2 t) + 0.045032e^((3i pi)/2 t) $ + +С помощью программы из @prog, подсчитаем также коэффициенты для $N = 5, 7, 9$, после чего построим график $F_N (t)$ для значений $N = 1, 3, 5, 7, 9$ и сравним их с $f(t)$: + +#figure( + canvas(length: 1.75cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -2, y-max: 2, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$F_N (t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (-2, 0, 2) + let tt = calc.rem(calc.abs(t) - t0, t2 - t0) + t0 + if tt >= t0 and tt < t1 { + return tt + 1 + } else { + return -tt + 1 + } + }, line: "linear", samples: 1000, label: [$f(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.81057*calc.cos(calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_1(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.81057*calc.cos(calc.pi/2*t) + 0.090063*calc.cos(3*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_3(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.81057*calc.cos(calc.pi/2*t) + 0.090063*calc.cos(3*calc.pi/2*t) + 0.032423*calc.cos(5*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_5(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.81057*calc.cos(calc.pi/2*t) + 0.090063*calc.cos(3*calc.pi/2*t) + 0.032423*calc.cos(5*calc.pi/2*t) + 0.016542*calc.cos(7*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_7(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.81057*calc.cos(calc.pi/2*t) + 0.090063*calc.cos(3*calc.pi/2*t) + 0.032423*calc.cos(5*calc.pi/2*t) + 0.016542*calc.cos(7*calc.pi/2*t) + 0.010007*calc.cos(9*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, style: (stroke: purple), label: [$F_9(t)$]) + } + ) + }), caption: [Графики частичных сумм Фурье треугольной волны $F_N (t)$ и $f(t)$] +) +#pagebreak() + +Из графиков видно, что сумма Фурье $F_N (t)$ сходится к исходной функции $f(t)$ при $N -> infinity$ - коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ подсчитаны верно. + +Проверим выполнение равенства Парсеваля: + +$ 1/(T/2) integral^2_(-2) (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ + +$ 1/(T/2) integral^2_(-2) (f(t))^2 upright(d)t &= 1/2 integral^2_(-2) underbrace(underbrace(f(t), "even")underbrace(f(t), "even"), "even") upright(d)t = integral^2_0 (f(t))^2 upright(d)t = integral^2_0 (-t + 1)^2 upright(d)t \ +&= integral^2_0 (t^2 - 2t + 1) upright(d)t = lr((t^3/3-t^2+t)|)^2_0 = 8/3 - 4 + 2 = 2/3 $ + +$ a^2_0/2 + sum^infinity_(n=1) (a^2_n + b^2_n) &= sum^infinity_(n=1) a^2_n = sum^infinity_(n=1) (cases( + 0 \, & n = 2k, + 8/(pi^2 n^2) \, & n = 2k - 1, +), k in ZZ)^2 = sum^infinity_(k=1) 64/(pi^4 (2k-1)^4) \ +&= 64/pi^4 underbracket(sum^infinity_(k=1) 1/(2k - 1)^4, #[@sq-wave]) = 64/pi^4 (sum^infinity_(k=1) 1/k^4 - sum^infinity_(k=1) 1/(2k)^4) = 64/pi^4 sum^infinity_(k=1) 15/16k^4 \ +&= 60/pi^4 sum^infinity_(k=1) 1/k^4 = 60/pi^4 dot pi^4/90 = 2/3 $ + +Левая часть равняется правой, значит равенство выполняется - коэффициенты подсчитаны верно. + +== Любая *нечётная* периодическая функция по вашему выбору + +Проанализируем следующую нечётную функцию: + +$ f(t) = t, t in [-1; 1) $ + +Построим график данной функции: + +#figure( + canvas(length: 1.25cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -2, y-max: 2, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t2) = (-1, 1) + if t < 0 { + -calc.rem(-t - t0, t2 - t0) - t0 + } else { + calc.rem(t - t0, t2 - t0) + t0 + } + }, line: "linear", samples: 1000) + } + ) + }), caption: [График треугольной волны $f(t)$] +) +#pagebreak() + +Период функции $T = 2$, $omega_n = pi n$. Рассмотрим функцию на промежутке $[-1; 1]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$, пользуясь свойствами нечётности функции: + +Поскольку интеграл нечётной фнукции на симметричном интервале равен 0, то $a_0$ и $a_n$ также равны 0: + +$ a_0 = 1/(T/2) integral^1_(-1) underbrace(f(t), "odd") upright(d)t = 0 $ + +$ a_n = 1/(T/2) integral^1_(-1) underbrace(underbrace(f(t), "odd")underbrace(cos(omega_n t), "even"), "odd") = 0 $ + +$ b_n &= 1/(T/2) integral^1_(-1) underbrace(underbrace(f(t), "odd")underbrace(sin(omega_n t), "odd"), "even") = 2integral^1_0 t sin(omega_n t) = -lr((2t cos(omega_n t))/omega_n|)^1_0 + 2integral^1_0 cos(omega_n t)/omega_n upright(d)t \ +&= -lr((2t cos(omega_n t))/omega_n|)^1_0 + lr((2sin(omega_n t))/omega_n^2|)^1_0 = lr((2sin(omega_n t) - 2t omega_n cos(omega_n t))/omega_n^2|)^1_0 \ +&= (2overbrace(sin(pi n), 0) - 2pi n cos(pi n))/(pi^2 n^2) - (2pi n overbrace(sin(0), 0))/(pi^2 n^2) = (-2(-1)^n)/(pi n) = (2(-1)^(n+1))/(pi n) $ + +$ c_0 = a_0/2 = 0 $ + +$ c_n = (a_n - i b_n)/2 = -(i b_n)/2 = (-1)^n/(pi n) $ + +$ c_(-n) = (a_n + i b_n)/2 = (i b_n)/2 = (-1)^(n+1)/(pi n) $ + +Дополним программу @prog новой нечётной функцией: + +#figure(```python +... +function_formulas = [ + ... + # 3. Odd func + { + 'an': lambda n: 0, + 'bn': lambda n: 0 if n == 0 else 2 * (-1) ** (n + 1) / (pi * n), + 'cn': lambda n: 0 if n == 0 else (-1) ** n / (pi * n) if n > 0 else (-1) ** (n + 1) / (pi * n) + } + ... +] +... +```, caption: "Дополнение программы нечётной функцией") +#pagebreak() + +Вновь воспользуемся программой для вычисления коэффициентов для $N=3$ и запишем частичные суммы Фурье: + +#figure(``` +$ python fourier.py 3 3 +an values: ['0: 0', '1: 0', '2: 0', '3: 0'] +bn values: ['0: 0', '1: 0.63662', '2: -0.31831', '3: 0.21221'] +cn values: ['-3: -0.1061', '-2: 0.15915', '-1: -0.31831', '0: 0', '1: -0.31831', '2: 0.15915', '3: -0.1061'] +```, caption: "Ввывод программы для третьей функции") + +$ F_3(t) = 0.63662sin(pi t) - 0.31831sin(2pi t) + 0.21221sin(3pi t) $ +$ G_3(t) = -0.1061e^(-3i pi t) + 0.15915e^(-2i pi t) - 0.31831e^(-i pi t) - 0.31831e^(i pi t) + 0.15915e^(2i pi t) - 0.1061e^(3i pi t) $ + +С помощью программы из @prog, подсчитаем также коэффициенты для $N = 5, 7, 9$, после чего построим график $F_N (t)$ для значений $N = 1, 3, 5, 7, 9$ и сравним их с $f(t)$: + +#figure( + canvas(length: 1.75cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -2, y-max: 2, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$F_N (t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t2) = (-1, 1) + if t < 0 { + -calc.rem(-t - t0, t2 - t0) - t0 + } else { + calc.rem(t - t0, t2 - t0) + t0 + } + }, line: "linear", samples: 1000, label: [$f(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_1(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) - 0.31831*calc.sin(2*calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_3(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) - 0.31831*calc.sin(2*calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) - 0.15915*calc.sin(4*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_5(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) - 0.31831*calc.sin(2*calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) - 0.15915*calc.sin(4*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) - 0.1061*calc.sin(6*calc.pi*t) + 0.090946*calc.sin(7*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_7(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + 0.63662*calc.sin(calc.pi*t) - 0.31831*calc.sin(2*calc.pi*t) + 0.21221*calc.sin(3*calc.pi*t) - 0.15915*calc.sin(4*calc.pi*t) + 0.12732*calc.sin(5*calc.pi*t) - 0.1061*calc.sin(6*calc.pi*t) + 0.090946*calc.sin(7*calc.pi*t) - 0.039789*calc.sin(8*calc.pi*t) + 0.070736*calc.sin(9*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, style: (stroke: purple), label: [$F_9(t)$]) + } + ) + }), caption: [Графики частичных сумм Фурье чётной функции $F_N (t)$ и $f(t)$] +) + +Из графиков видно, что сумма Фурье $F_N (t)$ сходится к исходной функции $f(t)$ при $N -> infinity$ - коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ подсчитаны верно. + +Проверим выполнение равенства Парсеваля: + +$ 1/(T/2) integral^1_(-1) (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ + +$ 1/(T/2) integral^1_(-1) (f(t))^2 upright(d)t = integral^1_(-1) underbrace(underbrace(f(t), "odd")underbrace(f(t), "odd"), "even") upright(d)t = 2integral^1_0 (f(t))^2 upright(d)t = 2integral^1_0 t^2 upright(d)t = lr((2t^3)/3|)^1_0 = 2/3 $ + +$ a^2_0/2 + sum^infinity_(n=1) (a^2_n + b^2_n) = sum^infinity_(n=1) b^2_n = sum^infinity_(n=1) ((2(-1)^(n+1))/(pi n))^2 = 4/pi^2 sum^infinity_(n=1) 1/n^2 = 4/pi^2 dot pi^2/6 = 2/3 $ + +Левая часть равняется правой, равенство выполняется - коэффициенты подсчитаны верно. +#pagebreak() + +== Любая периодическая функция по вашему выбору, график которой состоит не только из прямых линий, и которая не является *ни чётной, ни нечётной* + +Проанализируем следующую функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной: + +$ f(t) = cases( + -t^2 - 2t\, t in [-2; 0), + 2t^2 - 4t\, t in [0; 2) +) $ + +Построим график данной функции: + +#figure( + canvas(length: 1.25cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -3, y-max: 3, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$f(t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (-2, 0, 2) + if t < t0 { t = -t + t0 } + let tt = calc.rem(t - t0, t2 - t0) + t0 + if tt >= t0 and tt < t1 { + return -tt*tt - 2*tt + } else { + return 2*tt*tt - 4*tt + } + }, line: "linear", samples: 1000) + } + ) + }), caption: [График четвёртой функции $f(t)$] +) + +Период функции $T = 4$, $omega_n = (pi n)/2$. Рассмотрим функцию на промежутке $[-2; 2]$ и найдём коэффициенты $a_0, a_n, b_n, c_n$: + +$ a_n &= 1/(T/2) integral^2_(-2) f(t) upright(d)t \ +&= ... \ +&= -2/3 $ + +$ a_n &= 1/(T/2) integral^2_(-2) f(t)cos(omega_n t) upright(d)t \ +&= ... \ +&= (4(1+(-1)^n))/(pi^2 n^2) = cases( + 8/(pi^2 n^2)\, & n in 2k, + 0\, & n in 2k - 1 +) $ + +$ b_n &= 1/(T/2) integral^2_(-2) f(t)sin(omega_n t) upright(d)t \ +&= ...\ +&= (24((-1)^n - 1))/(pi^3 n^3) = cases( + 0\, & n in 2k, + -48/(pi^3 n^3)\, & n in 2k - 1 +) $ + +$ c_0 = a_0/2 = -1/3 $ + +$ c_n = (a_n - i b_n)/2 = cases( + 4/(pi^2 n^2)\, & n in 2k, + (24i)/(pi^3 n^3)\, & n in 2k - 1 +) $ + +$ c_(-n) = (a_n + i b_n)/2 = cases( + 4/(pi^2 n^2)\, & n in 2k, + -(24i)/(pi^3 n^3)\, & n in 2k - 1 +) $ + +Дополним программу @prog новой функцией: + +#figure(```python +... +function_formulas = [ + ... + # 4. Not odd and not even func + { + 'an': lambda n: -2/3 if n == 0 else (8 / (pi ** 2 * n ** 2) if n % 2 == 0 else 0), + 'bn': lambda n: 0 if n % 2 == 0 else -48 / (pi ** 3 * n ** 3), + 'cn': lambda n: -1/3 if n == 0 else ( + (4 / (pi ** 2 * n ** 2) if n % 2 == 0 else 24j / (pi ** 3 * n ** 3)) + if n > 0 else + (4 / pi ** 2 * n ** 2) if n %2 == 0 else -24j / (pi ** 3 * n ** 3)) + ) + } + ... +] +... +```, caption: "Дополнение программы нечётной функцией") + +#figure(``` +$ python fourier.py 4 3 +an values: ['0: -0.66667', '1: 0', '2: 0.20264', '3: 0'] +bn values: ['0: 0', '1: -1.5481', '2: 0', '3: -0.057336'] +cn values: ['-3: -0+0.028668j', '-2: 0.10132', '-1: -0+0.77404j', '0: -0.33333', '1: 0+0.77404j', '2: 0.10132', '3: 0+0.028668j'] +```, caption: "Ввывод программы для четвёртой функции") + +$ F_3(t) = -0.66667 - 1.5481sin(pi/2 t) + 0.20264cos(pi t) -0.057336sin((3pi)/2 t) $ +$ G_3(t) =& 0.028668i e^(-(3i pi)/2 t) + 0.10132e^(-i pi t) - 0.77404i e^(-(i pi)/2 t) - 0.33333 + \ ++& 0.77404i e^((i pi)/2 t) + 0.10132e^(i pi t) + 0.028668i e^((3i pi)/2 t) $ + +С помощью программы из @prog, подсчитаем также коэффициенты для $N = 4, 5$, после чего построим график $F_N (t)$ для значений $N = 1, 2, 3, 4, 5$ и сравним их с $f(t)$: +#pagebreak() + +#figure( + canvas(length: 1.75cm, { + plot.plot(size: (8, 4), + x-tick-step: 1, y-tick-step: 1, + x-min: -5, x-max: 5, + y-min: -3, y-max: 3, + x-grid: true, y-grid: true, + x-label: [$t$], y-label: [$F_N (t)$], + { + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + let (t0, t1, t2) = (-2, 0, 2) + if t < t0 { t = -t + t0 } + let tt = calc.rem(t - t0, t2 - t0) + t0 + if tt >= t0 and tt < t1 { + return -tt*tt - 2*tt + } else { + return 2*tt*tt - 4*tt + } + }, line: "linear", samples: 1000, label: [$f(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + -1/3 - 1.5481*calc.sin(calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_1(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + -1/3 - 1.5481*calc.sin(calc.pi/2*t) + 0.20264*calc.cos(calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_3(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + -1/3 - 1.5481*calc.sin(calc.pi/2*t) + 0.20264*calc.cos(calc.pi*t) - 0.057336*calc.sin(3*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_5(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + -1/3 - 1.5481*calc.sin(calc.pi/2*t) + 0.20264*calc.cos(calc.pi*t) - 0.057336*calc.sin(3*calc.pi/2*t) + 0.050661*calc.cos(2*calc.pi*t) + }, line: "spline", samples: 100, label: [$F_7(t)$#v(1em)]) + plot.add(domain: (-4.99, 4.99), t => { + -1/3 - 1.5481*calc.sin(calc.pi/2*t) + 0.20264*calc.cos(calc.pi*t) - 0.057336*calc.sin(3*calc.pi/2*t) + 0.050661*calc.cos(2*calc.pi*t) - 0.012385*calc.sin(5*calc.pi/2*t) + }, line: "spline", samples: 100, style: (stroke: purple), label: [$F_9(t)$]) + } + ) + }), caption: [Графики частичных сумм Фурье четвёртой функции $F_N (t)$ и $f(t)$] +) + +Из графиков видно, что сумма Фурье $F_N (t)$ сходится к исходной функции $f(t)$ при $N -> infinity$ - коэффициенты $a_n, b_n, c_n$ подсчитаны верно. + +Проверим выполнение равенства Парсеваля: + +$ 1/(T/2) integral^2_(-2) (f(t))^2 upright(d)t = a_0^2/2 + sum^infinity_(n=1) (a_n^2 + b_n^2) $ + +$ 1/(T/2) integral^2_(-2) (f(t))^2 upright(d)t &= 1/2 integral^0_(-2) (-t^2 - 2t)^2 upright(d)t + 1/2 integral^2_0 (2t^2 - 4t)^2 upright(d)t \ +&= 1/2 integral^0_(-2) (t^4 + 4t^3 + 4t^2) upright(d)t + 1/2 integral^2_0 (4t^4 - 16t^3 + 16t^2) upright(d)t \ +&= lr((t^5/10 + t^4/2 + (2t^3)/3)|)^0_(-2) + lr(((2t^5)/5 - 2t^4 + (8t^3)/3)|)^2_0 \ +&= 32/10 - 8 + 16/3 + 64/5 - 32 + 64/3 = -40 + 80/3 + 80/5 = 8/3 $ + +$ a^2_0/2 + sum^infinity_(n=1) (a^2_n + b^2_n) &= 2/9 + sum^infinity_(k=1) (8/(pi^2 4k^2))^2 + sum^infinity_(k=1) (-48/(pi^3 (2k-1)^3))^2 \ +&= 2/9 + 4/pi^4 sum^infinity_(k=1) 1/k^4 + 2304/pi^6 sum^infinity_(k=1) 1/(2k-1)^6 \ +&= 2/9 + 4/pi^4 dot pi^4/90 + 2304/pi^6 dot pi^6/960 = 2/9 + 2/45 + 12/5 = 120/45 = 8/3 $ + +Левая часть равняется правой, равенство выполняется - коэффициенты подсчитаны верно.